2.2 BASIC CONCEPTS IN PROBABILITY
- 이 절에서는 책 전체에서 사용할 probabilistic notation과 기초 개념을 익힙니다.
- 로보틱스에서는 센서 측정(sensor measurements), 제어 입력(controls), 로봇과 환경의 상태(states) 등을 모두 random variables로 모델링합니다.
- 이들 변수는 여러 값을 가질 수 있으며, probabilistic laws에 따라 값이 결정됩니다.
- 확률추론(Probabilistic inference)는 센서 데이터처럼 다른 랜덤 변수에 의존하는 변수들의 확률 법칙을 계산하는 과정입니다.
2.2 - 1 Random Variable and Discrete Probability
- X를 랜덤 변수라고 하자
- x를 X가 취할수 있는 특정 값(event)라고 하자.
- 동전 던지기의 결과처럼 값들의 집합이 discreate할때, p( X = x )로 X가 x일 확률을 나타낸다.
- 예컨데 동전은 p( X = head) = p( X=tail ) = 1/2로 특정된다
- 그리고 모든 discreate확률의 합은 1이여야한다. ( 식2.2 )
- 그리고 p( X = x ) >= 0임은 자명하다
- 간단히 p(x)로 적어 p( X = x ) 를 줄여서 쓸수있다.
식2.2
2.2 - 2 Continuous Random Variable and PDF
- 대부분 로봇 문제는 continuous spaces이니, 연속 랜덤 변수는 probability density functions (확률 밀도 함수 PDFs)를 가진다.
- 1차원의 Normal distribution( 정규분포)은 평균은 μ , 분산 σ^2 일때 식2.3과 같이 정의 된다.
식2.3 가우시안 함수라고도 한다.
식2.3의 약식 표현
- 다변량인 경우에 평균 벡터 μ , 공분산 행렬 Σ를 사용해서 식2.4와 같이 표현한다.
식.2.4
- 모든 PDF는 적분 값이 1이여야한다. 식2.5 참고
식 2.5
- PDF의 값은 1보다 클 수도 있고 probability , probability density , probability density function을 혼용합니다.
2.2 - 3 Joint Distribution & Independence
- 두 랜덤 변수 X,Y의 joint distribution(결합 분포 )은 식 2.6과 같다.
식 2.6
- 만약에 X와 Y가 서로 독립이라면 식 2.7과 같이 나타낸다.
식 2.7
2.2 - 4 Conditional Probability( 조건부 확률 )
- Y=y라는 사실을 알고 있을때, X=x의 확률을 조건부 확률이라고 하며, 식2.8과 같이 나타낸다.
식 2.8
- p(x) > 0일때는 조건부확률은 식 2.9와 같다.
식 2.9
식 2.10
- Total probability theorem ( 전체 확률의 법칙 )
전체 확률의 법칙은 위와 같은 식에 따른다.
2.2 -5 Bayes Rule
- p(x) >0이라면 식2.13과 식 2.1과 같은 법칙을 따른다.
2.2 - 6 Expectation & Covariance
- 기대값(expectation)은 식 2.19에 따른다.
식 2.19
- 선형성을 만족한다면 아래의 식을 만족한다. 식 2.20
식 2.20
- 분산(variance)/공분산(covariance)
식 2.21
2.2 - 7 Entropy
- 랜덤 변수의 entropy는 정보 이론에서 유래하며, discrete일때 식 2.22를 따른다.
- 로봇의 information gathering에서, 특정한 행위를 통해서 얻는 정보량을 정량화 할때 사용한다.
식 2.22
2.2 - 8 Conditional Independence 조건부 독립성
- 임의의 변수 Z에 조건부로 적용하면, 예컨대 식 2.23와 같이 나타낸다.
2.23
- Z를 알 때 X,Y가 조건부 독립(conditional independence)이면 식 2.24를 따른다.
2.24