퍼지 집합

퍼지 집합

• 애매모호한 단어의 의미를 정량적으로 다루면서, 기존 보통집합을 퍼지 일반화한 것을 퍼지집합이라고 함.
• 애매모호성을 무한집합 [0,1]에 속하는 수치에 대입하여 표현.
• 퍼지수의 사칙연산 와 퍼지 집합과 소속정도 함수 등 앞에서 올린 블로그 내용들은 퍼지 집합에서의 퍼지수를 다루는 내용이였다면.... 이번 포스팅에서는 일반적인 집합에서 정의된 퍼지 집합에 대해서 알아본다.
• X를 임의의 집합이라고 하자... 집합 X에서 [0,1]로의 소속정도 함수 µA : X -> [ 0, 1] 이 주어지면,
  A를 X 위에서 정의된 퍼지집합(fuzzy set)라고 한다.
• 퍼지 집합 A와 소속정도 함수 µA 는 서로 일대일 대응이니, 퍼지 집합A를 바로 소속 정도 함수 µA 로 쓰기도 함.
  • X의 임의의 원소 x에 대한 소속정도 함수의 값 µA(x)은 x가 퍼지집합 A에 속하는 정도를 표현...

왼쪽 A는 X의 보통 부분 집합이다... 오른쪽 A가 X의 퍼지 집합이라면 ( x , 1 ) , ( y , 2/3 ) , ( z , 1/3 ) , ( w , 1/4 )로 나타낼수있다.

• 위의 그림에서 퍼지집합 A는 사실상 { ( x , µA(x) ) | x ∈ X , µA(x) ∈ [ 0 , 1 ] } 이다.
• 퍼지 집합 A와 B가 서로 상보(complementary) 관계인 경우
  • µA(x) + µA(x) = 1 인 관계에 있을때, 서로 상보 관계이다.
  • 이때, "A를 B의 여집합" or "B를 A의 여집합"이라고 한다.
  • 이러면 소속정도 함수 µA(x) 와 µA(x) 의 여집합의 합도 1이다.

A와 A의 여집합

• A의  α -레벨 집합
  • A α = { x∈X |  µA(x)  >= a } 

1/2-레벨인 경우의 예시

• 전체집합 X가 벡터 공간이고, A가 X의 부분집합이라고 하면...
  이때, A가 볼록 집합이라는 것은 A의 임의의 원소 x,y와 임의  λ∈[0,1]에 대해서 λx + ( 1- λ)y ∈ A인 경우.

sup은 상한을 의미. supremum