칼만 필터란?

"잡음이 포함된 관측 데이터"로부터 어떤 시스템의 상태를 추정하는 최적의 알고리즘
- 여기서 최적이란, 시스템과 센서의 잡음이 "가우시안(정규 분포)확률 분포"를 따른 다는 가정 하에 '최소 분산 추정( minimum mean square error , MMSE )'을 제공한다는 뜻이다.
- 입력 : 이전 상태의 추정 값 , 센서로부터의 측정값 , 시스템/센서 잡음의 통계적 특성(분산)
- 출력 : 현재 상태의 최적 추정값(평균)과 추정 오차의 공분산
언제 사용하나?
- 위치 추정
- 센서 융합
- 자유 주행
장점
- 실시간으로 동작
- 이론적으로 가장 정확하다
- 계산량이 적으며, 하드웨어에 실시간으로 쉽게 탑제 가능
한계
- 선형 시스템에만 정확하다.
- 가우시안 잡음이어야 수학적 최적 성질을 보장
칼만 필터의 기본 수식
- 칼만 필터는 선형 동적 시스템에 대해서 아래와 같은 모델 가정을 한다.
- 1. 상태 전이 모델
  - 상태 전이 행렬 : ( "이전 시점의 상태"가 "다음시점 상태"로 어떻게 변화하는지를 수학적으로 표현하는 행렬 )
  - 제어 입력 모델 : ( 외부 제어 입력이 상태에 어떻게 영향을 주는지를 행렬로 수식화한 것. 즉, 명령이 실제로 상태 변화에 어떤 식으로 반영되는지를 나타냄 ). 즉, 외부 제어 명령이 시스템에 얼마나 어떻게 반영되는지를 결정.
  - 외부 제어 입력 : 시스템에 외부에서 가하는 명령 , 힘 , 입력이다. 즉, 시스템에 넣는 명령이다.

2. 관측 ( 측정 ) 모델
- 이는 "지금의 나의 상태가 센서에서는 어떻게 관측이 되는지를 나타내는 공식"이다. 즉, 센서의 결과값을 의미.

===> 상태 전이 모델은 "내가 명령(제어 입력)을 넣었더니, 물리 법칙에 따라서 내 상태가 시간에 따라서 이렇게 변해"를 의미.

===> 관측 모델은 "바뀐 내 상태가 센서로 측정하면 이렇게 보여"를 의미한다.

칼만 필터 알고리즘의 단계

칼만 필터는 기본적으로 예측(prediction) --> 갱신(update) 두 단계를 반복한다.
1. 예측 단계 ( prediction )
- 예측 오차 공분산 행렬은 "불확실성을 나타내는 예측 오차 공분산"이 어떻게 변화하는지 그리고 프로세스 잡음이 어떻게 들어가는지를 보여준다.
  (즉, 이는 "예측이 얼마나 신뢰도 있나? 얼마나 오차가 클까?"의 척도이다.)

2-1. 갱신 단계 ( update , correction ) - 칼만 이득 계산
- 칼만 이득이 크다면, 센서값을 많이 반영 (예측은 불확실/센서는 신뢰도 높음)
- 칼만 이득이 잘다면, 예측값을 많이 반영 (센서 노이즈 큼/예측이 신뢰도 높음)
  - 즉, 칼만 이득은 “센서를 얼마나 신뢰할지”를 수학적으로 결정하는 가중치

2-2. 갱신 단계 - 상태 추정치 갱신
- 최종적으로 상태를 어떻게 보정할까를 나타낸다.

2-3. 갱신 단계 - 오차 공분산 갱신
- 최종적으로 상태 추정치의 신뢰도(불확실성)가 센서 보정 이후에 얼마나 남아 있는지를 계산하는 공식

칼만 필터의 직관

예측단계에서는 모델을 믿고 다음 상태를 예측한다.
갱신단계에서는 센서 측정값을 참고해 예측을 보정한다.
센서가 신뢰도 높으면 측정값에 더 가중치를 두고(칼만 이득↑),
센서 노이즈가 크면 예측값에 더 가중치를 둔다(칼만 이득↓).

즉, 두 가지 불확실성(모델, 센서)의 신뢰도를 동적으로 반영해서,

항상 "최적"에 가까운 상태 추정치를 구하는 과정입니다.