3.2 THE KALMAN FILTER - 3.2.1 Linear Gaussian Systems

Measurement Noise

• 실제 센서가 측정한 값 z와 "진짜 현실 값"과의 오차를 의미
• 센서의 해상도 한계, 시간 지연, 전기적·환경적 간섭 등으로 인해 측정치가 정확한 값에서 벗어나는 모든 불확실성을 통칭함.

 

Gaussian Noise

• 잡음(noise)의 크기(또는 오차)가 정규분포(Normal distribution)를 따르는 경우를 가리킨다.

 

3.2 THE KALMAN FILTER

• 이 장에서는 가우시안 필터(Gaussian Filters)라 불리는, 베이즈 필터(Bayes Filter)의 연속 상태 공간에서의 초기이자 가장 다루기 쉬운 구현 기법군을 다룹니다.
• 가우시안 필터는 현재까지 가장 널리 사용되는 기법이지만, 몇 가지 단점도 가지고 있습니다.
• 가우시안 기법들은 모두 다변수 정규분포(multivariate normal distribution)로 belief을 표현한다는 기본 아이디어를 공유합니다.
  • 이미 식 (2.4)에서 다변수 정규분포의 정의를 보았는데, 이를 다시 쓰면 다음과 같습니다

x는 상태 벡터 , μ는 평균 , Σ는 공분산 행렬이다.

 

• 가우시안은 단봉(unimodal)이므로 최대값이 하나뿐입니다.
• 이 특성은 트래킹(tracking) 문제에서 유리한데, 실제 상태 주변에 집중된 좁은 불확실도만 남기기 때문입니다.
  • 반면 전역 추정(global estimation)처럼 서로 다른 여러 가설이 공존해야 할 때는 가우시안 근사가 부적합할 수 있습니다.
• 가우시안을 평균·공분산으로 표현하는 방식을 모멘트 표현(moments representation)이라고 합니다.
  • 가우시안 분포의 1차 및 2차 모멘트(평균, 공분산)만 필요하며, 그 외 모멘트는 모두 0이기 때문입니다.
  이 장에서는 모멘트 표현 이외에 정준 표현(canonical representation, 또는 natural representation)도 함께 다루는데,
  • 두 표현 방식은 서로 변환이 가능한 일대일 대응 관계를 가지며,
  • 계산 관점에서 서로 다른 장·단점을 지닌 필터 알고리즘을 유도합니다.

 

 

식 3.0

3.2.1 Linear Gaussian Systems

• 아마도 BAYES FILTER를 구현하는 기법 중 가장 폭넓게 연구된 것은 칼만 필터(Kalman Filter, KF)일 것입니다.
• 칼만 필터는 1950년대에 Rudolph Emil Kalman이 선형 시스템에서의 필터링 및 예측 기법으로 고안한 것으로, 연속 상태 공간에서의 belief계산을 구현합니다.
  • 이 알고리즘은 이산(discrete)이나 하이브리드 상태 공간에는 적용되지 않습니다.
• 칼만 필터는 모멘트 표현(moments representation) 방식을 사용하여 belief을 나타냅니다.
  • 시각 t에서의 belief는 평균 μ_t와 공분산 Σt​로 완전히 기술됩니다.
  • BAYES FILTER의 마르코프 가정(Markov assumptions)에 더해, 다음 세 가지 조건이 만족될 때 사후 분포는 가우시안이 됩니다.
    • 1. 선형 가우시안의 상태 전이 
      • p( x_t | u_t , x_t-1 ) (식3.0 참고) 는 linear function이며, Gaussian noise가 더해진 형태여야 한다.
        이를 수식으로 작성하면 식 3.2와 같다.
      • x_t-1과 x_t는 상태 벡터이다.
      • u_t는 제어 입력이다.
      • 벡터는 모두 열벡터( column vector )이다.
      • A_t는 상태 전이 행렬이며, B_t는 제어 전이 행렬이다.

식 3.2

식 3.3

 

=====> 따라서 식3.2에 따라서 상태 전이 확률(식 3.0 )은 다변수 정규분포 정의(식 3.1)에 대입해서 아래와 같이 작성할 수 있다. ( 식 3.4 참고 )
            이때 posterior state의 평균은 식3.A와 같으며 공분산은 식 3.B와 같다.

식 3.4

식 3.A

3.B

 

 

2. measurement model 가정

• measurement 확률인 p( z_t | x_t )도 " Gaussian noise가 더해진 선형(linear)의 입력값(인수 , 매개변수)"가 들어가야 합니다.( 식 3.5 참고 )

• 식 3.5에서 C_t는 k x n크기의 행렬이며, k는 measurement vector인 z_t의 차원(dimension)이다.
  • δ_t​는 measurement noise를 나타내는 벡터이며, 분포(distribution)는 다변수 정규분포(multivariate Gaussian)이며, zero mean(평균 0)과 공분산( Q_t )를 가진다.
    • measurement noise : 
  • 따라서 measurement probability는 식 3.6과 같은 multivariate normal distribution형태로 쓸 수 있다.
    • measurement probability는 "로봇이 실제로 상태 x_t에 있을때, 센서가 z_t라는 값을 측정할 확률"을 나타내는 likelihood함수이다.

 

 

 

3. initial belief가정

• 지금까지의 과정을 거치면 마침내 bel( x_0 )을 정규분포로 만들었다.
  • 그래서 이러한 belief의 평균을 μ_0라고 표시하며, 공분산을 Σ0이라고 표기한다.
  • 즉, 초기 상태인 x_0에 대해서 prior bel( x_0 )을 μ_0 , Σ0로 갖는 Gaussian으로 가정한다.

 

 

==> 이 세 가지(1. 선형 Gaussian state transition, 2. 선형 Gaussian measurement model, 3. 초기 belief의 Gaussian 가정)가 모두 만족되면, 모든 시각 t에서 posterior bel(x_t)는 항상 Gaussian 형태를 유지하게 된다. ==> 그리고 이를 Linear Gaussian Systems이라고 한다.