fuzzy

퍼지 논리

정지홍 2024. 11. 17. 16:49

퍼지 논리?

  • 보통 집합의 일반화이다.
    • 무한치 논리는 이치 논리의 일반화
    • 무한치 논리: 전통적인 이진 논리(고전 논리)와 달리, 무한한 개수의 진리값을 사용할 수 있는 논리 체계를 의미
  • 보통집합과 이치논리의 일대일 대응처럼, 퍼지 집합과 무한치 논리도 같은 맥락으로 일대일 대응이다.
  • 즉, 무한치 논리에 "퍼지 집합"과 "퍼지 관계"에 관한 이론을 퍼지 수학적 도구로 접목 시킨 것

퍼지 집합과 무한치 논리

 

 

퍼지 명제

  • 기존의 명제와 다른점은, 진리값의 치역의 차이다.
    • 기존의 명제: 바로 true false임을 알려줘야함
    • 퍼지 명제: 참과 거짓은 정도의 문제로 다우어 진다. 즉, 1,0이 아니라 [0,1]에 해당 된다.
  • 애매모호한 용어를 포함하는 진술을 "퍼지 명제"라고 한다.
  • ex)
    • 내일은 아마 눈이 내릴 것 이다.
    • 학교의 경사는 가파르다.
    • 20살은 어른이다.
  • 퍼지 명제 함수
    • p(x): X는 A이다. 
    • 위에서 X는 변수이며, A는 변수의 속성,성질을 나타내는 술어이며 적당한 퍼지 집합에 의해서 표현됨
      • p(x)는 명제적 형식일뿐, 특정한 진리값을 가지지 않는 하나의 명제 함수이다.
      • 변수가 특정한 x이면, 퍼지 명제 ' px: x는 A이다'를 얻는다.
    • ex)
      • X는 온도라는 변수, x는 가능한 온도 측정값에서의 특별한 온도 값이다.
        A는 변수 온도의 속성인 '높다'를 나타내는 술어이다.
      • 'px: 온도 x는 높다'를 얻는다.
    • X의 임의 특정 대상 x가 소적 정도를 가지며 퍼지 집합 A에 속한다 하자.
      그러면 소속정도 함수는 퍼지명제 'px : x는 A이다'의 함인 정도 T(px)를 얻는다.
      • 위에서 T함수는 [0,1]에서 [0,1]로 가는 함수이며, 퍼지 집합과 퍼지 명제 사이를 연결한다.

 

  • 건구 온도가 a도 , 습구 온도가 b도라고 한다면, 불쾌지수 D=40.6+0.72(a+b) 같이 나타내기로 했다.
    • 통계적으로 불쾌지수가 70이하면 대부분 사람은 쾌적하다고 느낀다. 70~75라면 약 10%가 75~80이라면 약 50%가 불쾌하다고 느낀다. 그리고 80~85는 대부분의 사람들이 느끼면 85이상은 모든 사람이 불쾌하다고 느낀다.
  • X를 특정 지역에서의 불쾌 지수라고 하자. '불쾌 지수가 높은'에 대한 퍼지 집합 A의 소속정도 함수는 위의 왼쪽과 같다.
  • 명제함수를 X의 여러가지 측정값 x에 적용할 수 있다.
    • x가 [0,100]일때, 퍼지 명제는 'px: x는 불쾌지수가 높다'의 참인 정도 T(px)는 오른쪽 그래프와 같다.
    • 위에서 mu A (78)=0.6이니, 퍼지 명제 'p78 : 78은 불쾌지수가 높다'의 참인 정도는 0.6이다.

 

 

 

언어 변수 linguistic variables

  • 변수 X의 값을 자연어에서 단어나 문장으로 취하는 변수를 언어변수라 한다.
  • 변수 값을 숫자가 아닌 단어,문장을 사용하는 이유?
    • 언어의 성격이 수치적 특성보다 덜 특수하며 보편성을 지녔기 때문 
  • 물리적 언어 변수 : 온도 , 습도 , 몸무게 , 풍속 등이 존재
  • 수치적 언어 변수 : 나이 , 성취도 , 월급 , 확률 등이 존재

언어 변수인 나이와 관련하여 퍼지 개념 '중노인'을 소속 정도 함수로 표현.

 

 

진리 수식 명제

  • 진리 수식어: 예를 들어서 '참'이라는 서술에 수석어를 붙혀서 '매우참인 , 상당히 참인 , 참인 , 거짓인 , 상당히 거짓인'과 같은 언어변수에 속하는 퍼지 개념을 진리값으로 사용한 언어적 표현들을 의미
  • 진리 수식어를 사용한 명제를 진리 수식 명제라 한다.
  • ex)
    • p(x)를 명제 함수 , X를 변수 , A는 성질을 나타내는 퍼지 집합 , S를 진리 수식어라 한다면....
      p(x)는 " p(x) : 'X는 A이다'는 S이다 "라고 표현 

언어 변수 "진리"
진리 수식어 S

  • p78 : '78은 불쾌 지수가 높다'는 것은 참이다.
    • 참인 정도는 0.6이다.
  • p78 : '78은 불쾌 지수가 높다'는 것은 매우 거짓이다.
    • 참인 정도는 0.16이다.
  • p78 : '78은 불쾌 지수가 높다'는 것은 거짓이다.
    • 참인 정도는 0.4이다.
  • p78 : '78은 불쾌 지수가 높다'는 것은 참이다
    • 참인 정도는 0.63이다.

 

 

퍼지 한정어 fuzzy quantifier

  • 퍼지 집합 or 보통집합의 절대량 or 상대적인 양의 퍼지적 성격을 나타내는 퍼지수를 퍼지 한정어 라고 함.
  • 절대적 한정어 : 절대량에 관련된 퍼지수
    • serveal , few , many
  • 상대적 한정어 : 상대적인 양과 관련 된 것
    • most , often , a large fraction

 

언어 수식어 linguistic modifier

  • 매우 , 다소 , 극히 , 몹시와 같이 퍼지 집합 or 퍼지 개념을 꾸미고, 다른 언어적 용어를 수식하는 용어를 언어 수식어 라고 한다.
  • 이들은 퍼지 술어 or 퍼지 진리값 , 퍼지 한정어를 수식하는데 사용

 

표준 퍼지 연산 standard fuzzy operations

  • 퍼지 집합에 대해 퍼지 명제가 대응하듯, 퍼지 명제의 논리 결합자들은 퍼지 집합의 연산과 일대일 대응하며 이치 논리에서의 결합 연산자를 확장한 개념으로 정의함.
  • 퍼지 논리합 fuzzy logical disjuction
    • "x는 A이다"라는 퍼지 명제 p의 진리값을 a , "y는 B이다"라는 퍼지 명제 q의 진리값을 b라고 한다면...
      "x는 A이거나 y는 B이다"라는 명제를 p와 q의 퍼지 논리합 p∨q라고 한다.
      그리고 이 퍼지 명제의 진리값은 max(a,b)라고 정의한다.
    • ex) "짱구는 키가 크다"에서 키가 큰 정도는 0.7이고 , "짱구는 힘이 쎄다"에서 쎄다의 정도가 0.3이다. 그리면 퍼지 논리합 명제 "짱구는 키가 크거나 쎄다"의 진리값은 0.7이다.
  • 퍼지 논리곱 fuzzy logical conjuction
    • "x는 A이다"라는 퍼지 명제 p의 진리값을 a , "y는 B이다"라는 퍼지 명제 q의 진리값을 b라고 한다면...
      "x는 A이고 y는 B이다"라는 명제를 p와 q의 퍼지 논리합 p∧q라고 한다.
      그리고 이 퍼지 명제의 진리값은 min(a,b)라고 정의한다.
    • ex) "짱구는 키가 크다"에서 키가 큰 정도는 0.7이고 , "짱구는 힘이 쎄다"에서 쎄다의 정도가 0.3이다. 그리면 퍼지 논리합 명제 "짱구는 키가 크고 쎄다"의 진리값은 0.3이다.
  • 퍼지 논리부정 fuzzy logical negation
    • "x는 A이다"라는 퍼지 명제 p의 진리값이 a이면 "x는 A가 아니다"라는 퍼지 부정명제 ~p의 진리값은 1-a다.

 

조건 퍼지 명제 conditional fuzzy propositions

  • "만약 ~이면, ~이다"인 형태를 갖춘 퍼지 명제를 조건 퍼지 명제라고 함
    • 위와 같은 명제들은 " p : 만약 X가 A이면 Y는 B이다 "와 같은 형태로 표현

  • 퍼지 함의 fuzzy logical implication
    • "x는 A이다"라는 퍼지 명제 p의 진리값을 a , "y는 B이다"라는 퍼지 명제 q의 진리값을 b라고 한다면...
      "x는 A이면 y는 B이다"라는  퍼지함의 p→q의 진리값은 min( 1 , 1-a+b ) 로 정의한다.
    • ex) "수박이 익었다"에서 익은 정도가 0.7이고 "수박이 맛있다"에서 맛있음의 정도가 0.9라고 하면, 
      "수박이 익으면 맛있다"의 진리값은 min( 1 , 1-0.7+0.9) = 1 이다.