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수학 메모

정지홍 2024. 10. 23. 17:47
  • 영 벡터
    • 시작점과 끝점이 같아서 크기가 0인 벡터
    • 모든 성분이 0인 벡터
  • 상동
    • X=[ x1 , y1 ] , Y=[ x2 , y2] 벡터 존재시, x1=x2이고 y1=y2인 경우 X=Y이며 이를 상동이라고 함
  • x의 노름. ( norm , length , magnitude )
    • 원점에 대해서 점X = ( x1 , x2 , x3 , ...., xn)에 이르는 거리
    • ||X-Y||는 두 점 사이의 거리를 의미.
    • ||x||라고 표기
  • 내적
    • 벡터 X = ( x1 , x2 , x3 , ...., xn)와 Y=( y1 , y2 , y3 , ... yn )에 대해서 x1y1 + x2y2 + .. + xnyn이며
    • 이를 x●y로 나타낸다.
    • 즉, x●y= x1y1 + x2y2 + .. + xnyn
  • n차원 공간의 벡터 x,y,z와 스칼라 k에 대해서 다음이 성립
    • x●y ≥ 0
    • x●x = 0 이면 x=0이다.
    • x●y = y●x
    • k(x●y) = (kx)●y = x●(ky)
    • (x + y ) ● z = x●z + y●z
  • 코시 - 슈바르츠 부등식
    • n차원 공간의 임의의 벡터 x,y에 대해서 다음 부등식이 성립
      • | x●y | ≤ ||x|| ||y||
  • x와 y가 이루는 각 ( 사잇각)
    • x●y = ||x|| ||y|| cos θ 
      • 단, 0 ≤ θ ≤ π 
  • 직교
    • x●y=0일때, x와 y는 서로 직교한다.
    • 직교는 직각으로 만난다를 의미
  • 평행
    • 적당한 실수 k에 대해서 x=ky일때, x와 y는 서로 평행하다.
  • 단위 벡터 unit vector
    • 노름이 1인 벡터이다. 즉, ||x||=1인것.
  • 직교 벡터 orthogonal
    • 벡터 x,y가 서로 직교하는 경우
  • 정규 직교 벡터 orthonormal
    • x,y가 서로 직교 벡터이면서 단위 벡터인 경우를 정규 직교 벡터라고 한다.
  • 벡터에 대한 삼각 부등식
    • 벡터 x,y와 대해서 아래와 같은 부등식이 성립
      • ||x+y|| ≤ ||x|| + ||y|| ( 단, 등호는 x,y중 하나가 다른 것의 k배 일때만 성립  , k는 0보다 커야 함)
      • ||z|| = || x + y ||
  • 표준 단위 벡터
    •  n차원의 단위 벡터 중에서 다음 n개의 벡터 e1 = (1,0,...,0), e2 = (0,1,...,0), en = (0,0,...,1)를 기본 단위 벡터 or 표준 단위 벡터라고 한다.
    • 2차원에서는 e1,e2 대신에 ei ej라고 한다. 
      • 그러면 각각 ( 1 , 0 ) , ( 0,1)이다.
    • 3차원에서는 e1,e2,e3 대신에 ei ej ek 라고 한다. 
      •  그러면 각각 (1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1)이다.
  • 직선의 방정식
    • 3차원에서 한 점 P를 지나고, 0이 아닌 벡터 v = ai+bj+ck에 평행한 직선을 의미 
    • 다시 말하면, r(t)=P0​+tv
      • 는 직선 위의 한 점을 나타내는 위치 벡터
      • 는 직선이 지나는 고정된 점(시작점)
      • t 는 실수 매개변수로, 직선 위의 위치를 결정
      • 는 직선에 평행한 방향 벡터
        • ===> 따라서 이 방정식은 직선이 라는 점을 지나고, 벡터 v의 방향을 따라가는 직선을 의미
    • 매개 방정식으로는 ...
      • x = x0 + ta , y = y0 + tb , z = z0 + tc로 나타냄
    • 대칭 방정식으로는...
      • t = (x-x0)/a = (y-y0)/b = (z-z0)/c
  • 법선 벡터
    • 주어진 평면이나 곡면에 수직인 벡터

아래 그림에서 평면   π 는 위의 식을 만족해야함
두개의 법선 벡터를 나타냄

  • 평면의 point-normal 방정식
    • 평면 위의 한 점과 그 평면의 법선 벡터를 이용하여 평면을 정의하는 방정식
    • 즉, 아래의 방정식은 주어진 점에서 법선 벡터와의 관계를 통해 모든 평면 위의 점을 정의하는 방식

이렇게 간단히 표현도 가능

 

  • 정사영
    • 벡터 OU와 OV가 존재할때, 점 V에서 OU에 내린 수선의 발을 내렸을때 나오는 벡터. 이를 projuV라고 한다.
    • 이는 OU와 평행이니, ku이다. 그리고 projuV의 점을 s라고 하면, sv는 y-s이고 서로 직교이다.
    • 그리니 t = (y●x) / |x||x| 이다.

 

  • 점과 평면 사이의 거리
    • P0( x0 , y0 , z0 )과 평면 ax + by +cz + d = 0이 존재한다면...
    • 거리 D = | ax +by +cz + d | / (a^2 + b^2 + c^2 )^(1/2)
  • 선형 방정식 linear equation
    • a1x1 + a2x2 + .... + anxn = b
    • 미지수 x1 , x2 , x3 , .... , xn에 관한 선형 방정식이다. an들은 계수
    • 즉, 미지수의 차수가 1인 일차식과 상수항으로 이루어진 방정식
  • 선형 연립 방정식
    • 유한개의 선형 방적식의 모임
    • 만약, 상수항인 b1 , b2 , ... , bn이 모두 0인경우 동차 선형 연립 방정식이라고 한다.
    • let, 미지수가 2개인 선형 연립 방정식 2개가 존재...
      • 한점에서 만난다: 해를 1개 가짐
      • 겹친다: 무수히 많은 해
      • 평행하다: 해를 가지지 않는다.
    • let, 3차원이라면...
      • 한점에서 만나면 해 1개를 가짐.
      • 한 선분들만 만나면 무수히 많은 해
      • 하나라도 평행하거나 2개 이상의 선분을 만나면.....
  • 선형 연립 방정식의 해 전체의 집합을 해집합 이라고 한다.
  • 동일한 해집합을 가지는 두 선형연립 방정식을 동치라고 한다.
  • 행렬
    • 상수 or 복소수를 직사각형 모양의 행과 열로 표현한것.
    • 행렬안의 각각의 숫자를 행렬의 성분entry이라고 한다.
  • 정사각행렬
    • 크기가 m x n일때, n=m인 경우이다.
  • 주대각선성분
    • a11 , a22 , a33 , .... , ann을 의미한다.
  • 계수행렬
    • 계수만 표현한 행렬
  • 첨가 행렬
    • 계수행렬에 우변 상수를 포함한 행렬
  • 행 사다리꼴 (row echelon form  , REF)
    • m x n 행렬이 존재할때 아래 3가지를 만족해야함.
      • 성분이 모두 0인 행이 존재한다면, 해당되는 행은 맨 아래에 들어가야 한다.
      • 각 행에서 처음 나타나는 성분은 1이다. 그리고 이를 선행 선분( leading entry)이라고 한다.  
      • 만약 i행과 i+1행에 모두 선행선분 존재시.... i행의 선행선분이 i+1보다 왼쪽에 있어야 함.
  • 기약 행 사다리꼴 ( reduced row echelon form , RREF )
    • 행 사다리꼴에서 선행 성분을 포함하는 열의 선행성분은 제외한 나머지 성분이 0이여야 한다.
  • 기본행 연산 ( elementary row operation , ERO )
    • m x n 행렬에 대해서 다음 연산들을 기본행 연산이라고 한다.
      • 1.  i row와 j row의 위치를 서로 바꾼다.
      • 2. i번째 row에 상수 k를 곱한다. ( 단, k != 0 )
      • 3. i row를 k배 해서 j row에 더한다.
  • 기본 행렬 
    • 기본행 연산을 한번 적용해서 얻은 행렬
    • 기본 행렬의 역행렬은 기본 행렬이다.
  • 행 동치 row equivalent
    • a행렬에 기본행 연산을 하여 얻어지는 행렬 b가 있다. 그러면 a와 b는 서로 행 동치라고 한다.
  • 행렬의 상동
    • m x n의 2개의 행렬에 대해서 모든 성분이 같아야한다.
  • 스칼라 배 scalar multiple
    • 실수 k에 대해서 행렬 A에 곱한것. kA이다.
  • 영 행렬 zero matrix
    • 성분이 모두 0인 행렬 
  • 단위 행렬 identity matrix
    • 주대각선 성분이 모두 1이고, 나머지 성분은 모두 0인 n차의 정사각행렬 이다.
  • 전치 행렬 transpose
    • 기존의 행렬에서 행과 열을 바꾸어서 얻은 행렬.
    • 행렬식과 전치행렬식 값은 같다. |B|=|B^t|

전치 행렬은 위의 정리들이 성립

  • 치환 행렬 permutation
    • 단위행렬의 행들을 교환해서 얻어진 행렬을 의미.
  • 대각합 trace

  • 가역 행렬 invertible , nonsingular
    • n차의 정사각 행렬 A가 아래의 조건을 만족하면 A는 가역 행렬이라고 한다.
    • deaA != 0

이때 B를 역행렬이라고 한다.

  • 비가역 행렬 noninvertible
    • 가역행렬의 조건을 만족 못하는 행렬
  • 역행렬 inverse matrix
    • 역행렬은 유일하다.
    • n차의 정사각형 행렬 A,B가 가역이고 k가 0이 아니면 아래를 만족

  • 역행렬 계산
    • A:I = I:B
  • 연립 방정식에서의 역행렬...
    • n차의 정사각형 행렬 A가 가역이고 b가 n차원 실수 집합의 벡터일때... 아래를 만족
      • Ax=b는 x=A^-1b를 가진다. (즉, Ax=b , x=Bb가 존재 )
  • 부분 공간 subspace
    • n차원의 실수 집합에서 W가 부분집하지라고 하면, W는 이의 부분 공간이다.

부분공간이려면 위의 두개의 조건 만족해야함.

  • 부분 공간의 예시...
    • 만약 2차원의 실수 집합이라면...
      • 1. 영 공간 { 0}
      • 2. 원점을 지나는 line
      • 3. 2차원 실수 집합 전체
    • 만약 3차원의 실수 집합이라면...
      • 1. 영공간 {0}
      • 2. 원점을 지나는 line
      • 3. 원점을 지나는 평면
      • 4. 3차원 실수 집합 전체
  • 일차 결합 ( 부분 공간의 구조를 이해하기 위해서 필요함. )

  • 일차 독립
    • 일차결합에서 모든 계수가 0인 경우
  • 일차 종속
    • 일차독립이 아닌 경우 
  • 동차 선형 연립 방정식
    • 각 방정식의 오른쪽이 항상 0인 방정식. ( Ax=0 과 같은 형태 )
      • A는 계수, x는 변수 벡터, 0은 영 벡터를 의미
  • 자명한 해 trivial solution
    • Ax=0에서 x=0인 해를 자명한 해라고 한다.
  • 비자명 해
    • 자명해가 아닌것.
    • 동차 선형 연립 방정식이 n개의 미지수를 가지는 m개의 방정식으로 이루어질때, n>m이면 비자명 해를 가짐.
    • (즉, 미지수의 갯수가 방정식의 갯수보다 많은 경우 )
  • 수반 동차 연립 방정식 associated homogeneous system of linear equations
    • 선형 연립 방정식 Ax=b에 대해서, Ax=0을 Ax=b의 수반 동차 연립 방정식이라고 한다.
    • ax=0에서 x는 일반해하고 한다. 그리고 이는 수반 동차 방정식의 모든 가능한 해를 나타냄
  • 비동차  연립 방정식
    • ax=b에서 특수 해를 가진다.
  • 대각선 행렬 diagonal matrix
    • 주 대각석 성분 이외의 모든 성분이 0인 정사각형 행렬
  • 단위 행렬 identity matrix
    • 주 대각 성분이 모두 1인 행렬 I
  • 스칼라 행렬
    • 단위행렬에 k배를 한것. kI
  • 대칭 행렬
    • 정사각형 행렬 A가 A = A^T를 만족하는 경우
  • 반대칭 행렬
    • 정사각형 행렬 A가 -A = A^T를 만족하는 경우
  • 하삼각 행렬
    • 주 대각형 위의 모든 성분이 0인 행렬
    • 만약 A가 가역행렬이면 A^-1도 하삼각 행렬이다.
    • 만약 모든 i에 대해서 a[i,i]가 1이면 A^-1의 주대각 성분들도 모두 1이다.
  • 상삼각 행렬
    • 주 대각선 아래의 모든 성분이 0인 행렬
  • 자연수 집합의 치환
    • 집합 S가 존재시, S에서 S로 1대1 대응하는 것.
  • 치환에서 반전
    • 큰 자연수가 작은 작은수보다 더 왼쪽에 나타나는것.
    • 만약 k번째에서 반전이 일어난다면, k+1번째부터 숫자를 jk에 대한 반전수라고 한다.
  • 짝치환
    • 치환이 가진 반전의 총 개수가 짝수인 경우
  • 홀치환
    • 치환이 가진 반전의 총 개수가 홀수인 경우
    • ex) s=( 5 1 2 4 3 )이면, 4+0+0+1+0=5이니 홀치환이다.
  • 부호화 함수
    • 짝치환인 경우 +1로.... 홀치환인 경우 -1로 바꿈.
    • sng(σ)
    • ex)
      • (1 2 3 ) 반전 개수 0 , 짝치환 +
      • (2 3 1 ) 반전 개수 2 , 짝치환 +
      • (3 1 2 ) 반전개수 2 , 짝치환 +
      • (1 3 2 ) 반전개수 1 , 홀치환 -
      • (2 1 3 ) 반전개수 1 , 홀치환 -
  • 행렬식의 성질
    • 행렬 A가 존재하고, 행렬 B가 A의 행(열)을 서로 바꾸어서 얻은거라면... |B| = -|A| 다.
    • 정사각행렬 A의 두 행(열)이 일치하면 |A|=0이다. p125
    • 한 행(열)의 성분이 모두 0이라면 |A|=0이다.
    • 정사각 형렬 A의 한 행을 k배 해서 얻은 행렬을 B라고 하자. 그러면 |B|=k|A| 이다.
    • 정사각 행렬 A의 두 행이 비례하면 |A|=0이다.
    • 정사각 행렬 A의 한 행에 k배해서 대른 행에 더한 결과인 B행렬이 있다. 이 결과는 |A|=|B|이다.
    • 행렬이 n차의 삼각행렬이면, A의 행렬식은 주대각선 성분의 곱과 같다.
    • det(EA) = det(E)det(A) 여기서 E는 n차의 기본행렬이다.
    • 두 행렬 A,B가 n차의 정사각 행렬인 경우, |AB| = |A| |B| 이다.
  • 소행렬식 minor
    • 정사각형 행렬 A=[ a ij ]의 i행과 j열을 제거해서 만든 부분행렬을 A( i | j )라고 하자. 그의 행렬식 M ij = detA( i | j )를 A의 a ij에 대한 소행렬식이다.
  • 여인자 cofactor
    • A ij = (-1)^(i+j)M ij를 A에 대한 여인자라고 한다. p131
  • 수반 행렬 adjugate
    • n차 정사각 행렬에 대해서 각 성분을 여인자로 나타낸 행렬. p132
  • 여인자 전개
    • A가 n차의 정사각 행렬일때 i,j에 대해서 다음이 성립
      • |A| = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + ...... + ain Ain이 성립. ( i행에 관한 여인자 전개 )
      • |A| = aj1 Aj1 + aj2 Aj2 + ...... + ajn Ajn이 성립. ( j행에 관한 여인자 전개 )
  • 고유값과 고유벡터
    • Ax= λx
    • A의 고유값 eigenvalue
    • λ의 고유벡터 eigenvector
  • 변환 transformation
    • 입력과 출력이 모두 벡터인 함수를 변환이라고 함.
    • 입력과 출력에 대해서, W=T(x)를 벡터x의 T에 대한 이미지(image)라고 한다. 이때, x를 벡터 w의 원상pre-image라고 함.
  • 선형 변환 linear transformation
    • R^n 에서 R^m으로의 변환:T R^n -> R^m가 임의의 벡터 u,v∈R^n과 임의의 스칼라 k에 대해서 아래 두 조건을 만족할때 T를 R^n 에서 R^m으로의 선형 변환 이라고 함.
      • 1. T(u+v) = T(u) + T(v)
      • 2. T(ku) = kT(u) 단, k는 실수 
  • 선형 연산자 linear operator
    • R^n 에서 R^n 자신으로의 선형 변환을 R^n위의 선형 연산자라고 함.

ㄱ